Золотое сечение в

Содержание

Коллекция книг о живописи и искусстве

Золотое сечение — гармоническая пропорция

Спор о том, должна или не должна наука вторгаться в заповедные области искусства, идет давно. И спор этот носит явно схоластический характер. Во все эпохи процветания искусство вступало в союз с наукой. Художники-мыслители, теоретики и педагоги, размышлявшие над проблемами обучения молодых, всегда приходили к выводу, что без науки искусство развиваться и процветать не может. Художник и педагог Н. П. Крымов писал: «Говорят: искусство не наука, не математика, что это творчество, настроение и что в искусстве ничего нельзя объяснить — глядите и любуйтесь. По-моему, это не так. Искусство объяснимо и очень логично, о нем нужно и можно знать, оно математично… Можно точно доказать, почему картина хороша и почему плоха» 1. В. И. Суриков утверждал, что в композиции есть какой-то непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика.

Известный французский архитектор и теоретик архитектуры XIX в. Виолле-ле-Дюк считал, что форма, которую невозможно объяснить, никогда не будет красивой. На дверях Сикионской школы рисунка в Древней Греции было написано: «Сюда не допускаются люди, не знающие геометрии». Не следует художникам бояться математики, она вовне и внутри нас. За кажущейся простотой и случайностью живого восприятия окружающей действительности скрывается математика. Когда мы слушаем музыку, наш мозг занимается алгеброй. Когда мы смотрим на что-либо, наш мозг занимается геометрией. У человека не может возникнуть отношение к предмету, чувство, эмоция, пока мозг не произвел «измерение», сравнение этого предмета с уже имеющимся в памяти чем-то подобным. Впереди идет математика, а только потом возникает чувство. Эту работу мозг производит мгновенно, потому мы ее не замечаем и не осознаем и нам кажется, что чувство возникает сразу.

Прежде чем определить золотое сечение, необходимо ознакомиться с понятием пропорции. В математике пропорция (лат. proportio) — это равенство между двумя отношениями четырех величин: а : Ь = с : d. Далее, для примера обратимся к отрезку прямой (рис. 1). Отрезок АВ можно разделить на две равные части (/). Это будет соотношение равных величин — АВ : АС = АВ : ВС. Эту же прямую (2, 3) можно разделить на две неравные части в любом отношении. Эти части пропорции не образуют. Отношение малого отрезка к большому или меньшего к большему есть, а соотношения (пропорции) нет. И, наконец, прямую АВ(4) можно разделить по золотому сечению, когда АВ : АС, как АС : ВС. Это и есть золотое деление или деление в крайнем и среднем отношении.


Рис. 1. Деление отрезка прямой на равные части и по золотому сечению: 1 — АВ:АС=АВ:ВС (образуется пропорция); 2, 3 — пропорция не образуется; 4—АВ:АС=АС:ВС или ВС:АС=АС:АВ (золотая пропорция)

Из вышеизложенного следует вывод, что золотое сечение — это такое пропорциональное гармоническое деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему, т. е. a: b = b : с или с \Ь = b : а (рис. 2). Определение — деление в крайнем и среднем отношении — становится более понятным, если мы выразим его геометрически (рис. 3), а именно а : b как b : с.


Рис. 2. Геометрическое и алгебраическое выражение золотой пропорции: а:в=в:с или с:в=в:а

Из рис. 3 понятно, почему астроном Иоганн Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя. «Устроена она так, — писал И. Кеплер, — что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности» 2. Как видим, построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). В последнем случае необходимо от большего отрезка вычесть меньший — получим еще меньший: b — a = d, и т. д. Практическое знакомство с золотым сечением обычно начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции геометрическим способом (рис.4).

Рис. 3. Среднее пропорциональное или деление отрезка в крайнем и среднем отношении:d — b — а; с=а+b
Рис. 4. Геометрическое деление отрезка прямой по золотому сечению (разработано А. Дюрером): ВС=0,5 АВ; CD=ВС
Рис. 5. Определение линии золотого сечения на картине геометрическим способом: ВС=0,5 АВ

Рис. 6. Применение золотого сечения в построении картины И. Е. Репина «А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года»

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка f делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Арифметически отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью. АЕ = 0,618…, если АВ принять за единицу, ff = 0,382…. В практике применяется округление: 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая — 38 частям.


Рис. 7. Линии золотого сечения и диагонали на картине

При переносе геометрического способа деления на картину или эскиз поступают так: половину длины картины или эскиза откладывают на высоту или продолжение высоты, если эскиз узкого формата. Полученную точку С соединяют с левым нижним углом картины и т. д. (рис. 5). Линия золотого сечения в левой части картины будет находиться на таком же расстоянии от левого края, как и в правой от правого (показано пунктиром). Указанные выше две пропорции золотого деления — равные величины и неравные, при этом пропорциональные, широко используются в искусстве.

Фигура А. С. Пушкина в картине И. Е. Репина «А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 г.» помещена художником на линии золотого сечения в правой части картины (рис. 6). Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы А. С. Пушкина до головы Г. Р. Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения. В нижней части картины глаз улавливает деление на три равные части. Их образуют стол в левой части картины, нога Пушкина правее линии золотого сечения и правый край картины.

Если необходимо найти линию золотого сечения на картине или эскизе по горизонтали, то новое деление геометрическим способом высоты картины производить нет необходимости. Достаточно провести диагонали картины.& Их пересечения с линиями золотого сечения по вертикали укажут точки, через которые следует провести горизонтальные линии золотого сечения (рис. 7). Эти линии могут понадобиться при построении пейзажа. Художники-пейзажисты из опыта знают, что нельзя отводить половину плоскости холста под небо или под землю и воду. Лучше брать или больше неба, или больше земли, тогда пейзаж «лучше смотрится».

Из пропорции золотого сечения вытекает, что если высоту или ширину картины разделить на 100 частей, то больший отрезок золотой пропорции равен 62, а меньший — 38 частям. Эти три величины позволяют нам построить нисходящий ряд отрезков золотой пропорции: 100 — 62 = 38; 62 — 38 = 24; 38 — 24=14; 24 — 14=10.

100, 62, 38, 24, 14, 10 — это ряд величин золотой пропорции, выраженных арифметически. Так же находят отрезки золотой пропорции и на картине, если линия золотого сечения по вертикали уже проведена (рис. 7). Переносим линию золотого сечения в левый край картины. Расстояние между линиями золотого сечения в середине картины равно 24 частям. Отрезок, равный 24 частям, откладываем на отрезок, равный 38 частям, и получаем остаток, равный 14 частям. Последний отрезок накладываем на отрезок, равный 24 частям, и получаем отрезок, равный 10 частям. Все отрезки нисходящего ряда золотой пропорции для данной картины мы получили. Ту же операцию проводим и с высотой картины. Полученные отрезки переносим на полоску плотной бумаги или картона — для ширины с лицевой стороны и для высоты с оборотной. Этот простейший инструмент назовем пропорциональной линейкой. Такая пропорциональная линейка пригодна только для данного эскиза или эскиза такого же размера. Изготовление ее занимает несколько минут, но в дальнейшем облегчит работу над эскизом в поисках интервалов между фигурами или группами фигур, между предметами, поможет найти их размеры и, в конечном итоге, гармонизовать линейное построение картины.

Фигура А. С. Пушкина в картине Н. Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском» поставлена художником на линии золотого сечения в левой части полотна (рис. 8). Но и все остальные величины по ширине вовсе не случайны: ширина печи равна 24 частям от ширины картины, этажерки — 14 частям, расстояние от этажерки до печи также равно 14 частям и т. д.

Рис. 8. Пропорции золотого деления в линейном построении картины Н. Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском»

Такие же величины есть и в картине И. Е. Репина (см. рис. 6): от левого края картины до головы Державина — 24 части; от стола до носка сапога правой ноги Пушкина — 24 части. Такое же расстояние от головы Пушкина до головы военного, с восторгом слушающего чтение поэта (его голова находится на второй линии золотого сечения в таком же повороте, как и голова Пушкина). От голов Пушкина до головы молодой женщины в правой части картины, с умилением слушающей декламацию, тоже — 24 части, а от ее головы до npaвого края картины — 10 частей и т. д.

Повторение равных величин, чередование paвних и неравных величин в пропорциях золотое сечения создает в картине определенный ритмический строй, вызывающий у зрителя то или иное настроение и втягивающий его в рассматривание изображения. Порядок и последовательность этого рассматривания предопределены художником.

Рис. 9. Ряд отрезков золотой пропорции

Достоинство пропорции золотого сечения заключено в том, что, раз поделив отрезок прямой или сторону картины геометрическим способом, получают отрезки любого уменьшения. В практической же работе художника достаточно величин, соответствующих числовым значениям 62, 38, 24, 14 и 10 (рис. 9).

Отрезки золотой пропорции нисходящего ряда при известной величине отрезка АВ или ширине эскиза, картины, репродукции — если мы желаем их проанализировать, получают путем вычисления. Например, ширина эскиза равна 14 см. Одна сотая часть от 14 составит 0,14 см. 0,14 умножаем на 62 и получаем больший отрезок золотой пропорции, равный 8,68 см. Следовательно, 100 частей = 14,00; 62 части = 8,68; 38 частей = 5,32; 24 части = 3,36; 14 частей = 1,96; 10 частей = 1,4 см.

Откладываем эти значения на пропорциональной линейке, как показано на рис. 7, и дальнейшую работу над эскизом проводим с помощью этой линейки. Интуитивное сочетается с математикой и расчетом.

Случается так, что размер эскиза равен 10 см (100 мм) по ширине и высоте (квадрат). Тогда золотая пропорция на эскизе или пропорциональной линейке откладывается по линейке: 62, 38 и 24 мм. При размере картины 100×100 см поступают аналогичным образом. Если же одна из сторон картины равна 100 см, то, отложив на ней с помощью линейки отрезки золотой пропорции, проводим линии золотого сечения. Пересекаем их диагоналями и получаем данные для нахождения отрезков золотого сечения для другой стороны картины, не равной 100 см, как показано на рис. 7. Когда эскиз не очень большой, применяют метод нахождения золотых пропорций на одной из его сторон при помощи проведения вспомогательной линии размером в 10 см (100 мм) под произвольным углом к разделяемой линии (рис. 10). На вспомогательной линии, которую проводят в плоскости эскиза или за его пределами, откладывают значения в миллиметрах — 62, 38, 24, 14 и 10.

Рис. 10. Вспомогательная линия длиной в 100 мм (10 см) для нахождения отрезков золотой пропорции на эскизе малого размера
Рис. 11. Способы нахождения отрезков золотой пропорции по методу «от квадрата»: а — квадрат; б — прямоугольник золотого сечения; в — получение точек для проведения линий золотого сечения по горизонтали; г — построение эскиза любого формата

Крайняя точка вспомогательной линии соединяется с краем эскиза. Остальные линии проводятся параллельно первой. Все остальное построение проводится, как показано на рис. 7. Этот метод предложен художником В. Скубаком. Этот же метод применяют и на небольшой картине, когда вспомогательная линия в 100 см располагается на ее поверхности.

Если размер эскиза не задан, его построение начинают с квадрата (рис. 11, а). Разделив нижнюю сторону квадрата на две равные части и проведя линию от полученной точки в правый верхний угол квадрата, принимаем эту линию за радиус и описываем дугу до пересечения с продолжением нижней стороны квадрата. Из полученной точки восставляем перпендикуляр до пересечения его с продолжением верхней стороны квадрата. В результате такого построения получаем прямоугольник золотого сечения, или золотой прямоугольник (рис. 11, б).

Если ширину такого прямоугольника принять за 100 частей, то его высота равна 62 частям. Линия золотого сечения по вертикали определится сама собой. Далее проводим диагонали, получаем точки для проведения линий золотого сечения по горизонталям (рис. 11, в). На основании золотого прямоугольника производят построение эскиза любого формата, вытянутого по горизонтали или вертикали (рис. 11, г).

В русской Академии художеств знали о законе золотого сечения. Этому есть письменные свидетельства. В книге «Далекое — близкое» И. Е. Репин описывает встречу знаменитого критика В. В. Стасова с учениками Академии художеств. На встрече присутствовали, кроме Репина и Стасова, М. М. Антокольский, Г. И. Семирадский, К. А. Савицкий и др. Разговор шел о новом реалистическом искусстве и устаревшем академизме.

Илья Ефимович отмечает, что Семирадский щеголял перед Стасовым знанием греческого искусства, эстетических трактатов и золотого сечения, и замечает, что все это прекрасно знал и В. В. Стасов.

Золотое сечение применялось художниками при композиционном построении картин. Был разработан упрощенный метод, когда плоскость картины делилась на 10 частей по вертикали и горизонтали. Линия золотого сечения намечалась в отношении 6 и 4 частей (рис. 12, а). Это не давало отношения 62:38, но давало близкое к нему 60:40. Практически этого было достаточно, чтобы ориентироваться и расположить главную фигуру или группу фигур в наиболее выгодном для этого месте картины.

Академик А. Н. Лаптев в статье «Некоторые вопросы композиции» так пишет о золотом сечении: «…Хочу упомянуть о давно известном, особенно в классическом искусстве, законе пропорций золотого сечения. В силу некоторого свойства нашего зрительного восприятия, эти пропорции (примерно 6 и 4) являются наиболее гармоническими и наиболее отвечающими общему понятию красоты, а потому и наиболее часто употребляемыми» 3.

Тот же результат получали и художники Мюнхенской академии делением картины на 5 частей. Золотая пропорция бралась в отношении 3 : 2, что одно и то же, так как сокращение 10; 6 и 4 в два раза дает 5; 3 и 2. Главная фигура картины или группа помещались на линии золотого сечения (рис. 12,б).

В картине Джованни Тьеполо «Пир Клеопатры» голова Клеопатры помещена художником в правой верхней точке на пересечении линий золотого деления по вертикали и горизонтали. Этим обеспечивается легчайшее восприятие глазом всей картины и ее зрительно-смыслового центра — центра внимания. Центр внимания может быть в правой части картины или в левой, в нижней или верхней. Эти четыре точки — наилучшие места для расположения главного предмета картины. Это связано «с устройством глаза, работой мозга и закономерностями зрительного восприятия, о чем будет сказано ниже.

Рис. 12. Деление картины: а — на 10 частей в Русской Академии художеств: б — на пять частей в Мюнхенской академии художеств

На одном из эскизов В. И. Сурикова к картине «Боярыня Морозова» хорошо видны деления правого вертикального края эскиза на 10 частей. Затем отсчитаны 6 делений снизу или 4 сверху и проведена линия золотого сечения, являющаяся предполагаемым горизонтом. Репродукция этого эскиза опубликована в книге С. Каплановой «От замысла и натуры к законченному произведению» 4. В ранней картине В. И. Сурикова «Милосердный самарянин» (1874) голова раненого помещена художником в правой нижней точке картины, ладонь правой руки самарянина — в левой верхней, где слуга льет в нее воду из кувшина. Обе эти точки находятся на диагонали. Устойчивость композиции придает и то, что голова самарянинанаходится на средней линии картины по вертикали (рис. 13).

Рис. 13. Диагонали, линии золотого сечения и смысловой центр картины В. И. Сурикова «Милосердный самарянин»

Недостаток деления картины на 10 или 5 частей заключен в том, что оно дает довольно приблизительные отрезки золотого сечения — 60, 40, 20 (табл. 1, ряд 1). Более точные значения пропорциональных величин золотого сечения (62 и 38) дают возможность образовать 5 величин золотого ряда (табл. 1, ряд 2), еще более точные исходные величины — 61,8; 38,2 или 61,803 и 38,196 дают возможность продолжить нахождение величин нисходящего ряда золотой пропорции до 9 значений или даже до бесконечности (табл. 1, ряды 3 и 4). В практической работе художника над эскизом или картиной достаточно величин 2-го и 3-го рядов.

Формат картины или монументальной росписи иногда задают. Но чаще всего художник сам определяет формат в соответствии со своим замыслом. Например, художник начинает разрабатывать эскиз пейзажа форматом 8×12 см. Эскиз имеет формат 8X12 см. Для нахождения линии золотого сечения по вертикали и отрезков золотого сечения по нисходящему ряду можно воспользоваться проведением вспомогательной линии длиной 10 см за пределами поля эскиза (рис. 14).

Рис. 14. Построение пейзажа по золотому сечению и нахождение отрезков золотой пропорции при помощи вспомогательной линии

На основании наблюдений, зарисовок, этюдов у автора возник замысел: показать на картине опушку леса. Внимание зрителя в первую очередь привлекает ель. Все остальные деревья дополняют пейзаж и образуют стройное гармоническое целое, легко воспринимаемое глазом. Такое гармоническое целое создается благодаря расположению ели на линии золотого сечения, а остальных деревьев или групп деревьев — в должном порядке. Подсказывают этот порядок (ритм) отрезки нисходящего ряда золотого сечения для данной картины, найденные при помощи вспомогательной линии и отложенные на пропорциональной линейке (для ширины и высоты). Дальнейшая работа над пейзажем пойдет «на глаз», по чувству. Пусть художественный вкус автора, опыт и талант поведут его к успешному завершению картины, к наилучшему выражению замысла. Как в архитектуре, так и в живописи геометрию привлекают для нужд пропорционирования, для создания предварительной схемы, композиционного каркаса, но не более.

Таблица 1. величины нисходящего ряда золотой пропорции

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой (рис. 15). Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471 — 1528) (рис. 15, а). Пусть О — центр окружности, А — точка на окружности и Е — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получаем пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму (рис. 15, б). Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Проводим прямую произвольной длины, откладываем на ней отрезок m, ниже откладываем отрезок М. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов (рис. 15, в).

Если размер эскиза не задан, берут любые два значения шкалы как ширину или высоту эскиза и находят все остальные величины, как было показано ранее.

Рис. 15. Построение правильного пятиугольника (а), пентаграммы (б) и шкалы отрезков (в) золотой пропорции
Рис. 16. Построение: а — золотого треугольника: а:в=Ф, в=dd1 ; б — золотого прямоугольника: а:в=Ф

Из всего сказанного вытекает, что художник, желающий осуществить гармонический пропорциональный строй своей картины на основании золотого сечения, обязательно находит первые два отрезка золотой пропорции. Решению этой задачи способствует и золотой треугольник. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Для построения золотого треугольника не требуется даже транспортир (рис. 16, а). Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево От точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d\ соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd\ откладываем на линию Ad\, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad\ и dd\ пользуются для построения золотого прямоугольника (рис. 16, б).

1 Крымов Н. П.—художник и педагог.—М., 1960.—С. 32.

2 Кеплер И. О шестиугольных снежинках. — М., 1982.— С. 17.

3 Лаптев А. М. Некоторые вопросы композиции//Вопросы изобразительного искусства. — М, 1954. — С. 66 — 67.

4 Капланова С. От замысла и натуры к законченному произведению. — М., 1981. — С. 17.

Золотое сечение. Божественная пропорция

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении.

И. Кеплер

Существуют вещи, которые практически невозможно объяснить. К примеру, вы подходите к пустой скамейке, и вам нужно на нее сесть. Где вы сядете? Возможно, прямо по центру. Возможно, с самого края. Но скорее всего, вы инстинктивно выберете такое положение, чтобы разделить скамейку на две части, относящиеся друг к другу в пропорции 1:1,62. Одним абсолютно простым действием вы разделили пространство по «золотому сечению».

Золотое сечение – деление величины (например, отрезка) на две части таким образом, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению всей величины к ее большей части. Приблизительная величина золотого сечения равна 1,6.

Несмотря на почти мистическое происхождение, число PHI сыграло по-своему уникальную роль. Роль кирпичика в фундаменте построения всего живого на земле. Все растения, животные и даже человеческие существа наделены физическими пропорциями, приблизительно равными корню от соотношения числа PHI к 1. Эта вездесущность PHI в природе… указывает на связь всех живых существ. Раньше считали, что число PHI было предопределено Творцом Вселенной. Ученые древности называли одну целую шестьсот восемнадцать тысячных «божественной пропорцией».

Бесконечный ряд чисел:

1,6180339887…

Ученые веками пытались определить точное значение «золотой пропорции». Пифагор создал школу, где изучались тайны «золотого сечения», Евклид использовал его при создании геометрии, Аристотель применил к этическому закону, Леонардо да Винчи и Микеланджело будут воспевать его в своих работах. Что же это за божественная пропорция, силу и истинную суть которой не могут определить до сих пор? Золотое сечение можно увидеть везде: в бутонах цветов, в теле человека, в завитках ракушек. Что это – этический догмат? Мистическая тайна? Феномен? Или все вместе?

Пропорции золотого сечения, введенные в научный обиход еще Пифагором, используются и по сей день в искусстве, математике, повседневной жизни. К примеру, режиссер Сергей Эйзенштейн построил свой фильм «Броненосец Потемкин» по правилам золотого сечения. В первых трех частях действие происходит на корабле. В оставшихся двух – в Одессе. Момент перехода действия в Одессу точно совпадает с точкой золотого сечения.

Золотое сечение и зрительные центры

При изучении пирамид Хеопса выяснилось, что египетские мастера пользовались божественной пропорцией при создании самих пирамид, а также храмов, барельефов, украшений и предметов быта из гробницы Тутанхамона.

В фасаде одного из семи чудес света, Парфенона, также присутствуют золотые пропорции. При раскопках этого храма были найдены циркули, которыми пользовались зодчие античного мира.

Секреты золотого сечения в античности были доступны только посвященным. Их тайна ревностно охранялась и разглашалась только в особых случаях.

В эпоху Возрождения интерес к золотому сечению усиливается, особенно в искусстве и архитектуре. Особенное внимание к божественной пропорции питал великий ученый и художник Леонардо да Винчи. Он даже было начал писать книгу по геометрии, но его опередил монах Лука Пачоли, который и дал новое название золотому сечению – «божественная пропорция». В его книге, которая так и называлась, «Божественная пропорция», говорилось о том, что маленький отрезок величины золотого сечения – это олицетворение Бога-Сына. Большой отрезок – это Бог-Отец, а вся величина целиком – это единство, это Бог Духа Святого. Божественная суть божественной пропорции…

Схема Парфенона

Изучение пропорций человеческого тела

Леонардо да Винчи, в свою очередь, ввел в обиход название «золотое сечение». Он много внимания уделял в своих исследованиях золотому делению. Не раз производя сечение стереометрического тела пятиугольниками, он получал прямоугольники с соотношениями сторон в золотом делении. Отсюда и пошло самое популярное название классической пропорции – золотое сечение.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.
Читать книгу целиком
Поделитесь на страничке

Следующая глава >

Золотое сечение (лат. Sectio aurea) – это термин, введенный в обиход немецким математиком Мартином Омом в 1835 году.

Однако задолго до того, как термин «Золотое сечение» стал известен, его принципы использовались Пифагором, Евклидом, Аристотелем, Леонардо да Винчи, Микеланджело и другими.

Первое научное обоснование Золотого сечения было дано монахом Лукой Пачоли в 1509 году в книге «Божественная пропорция», иллюстрации к которой предположительно были созданы Леонардо да Винчи.

Золотое сечение — это идеальное соотношение величин, где:

Большая часть относится к меньшей, как вся величина к большей части.

Приблизительное процентное соотношение частей Золотого сечения составляет 62% и 38%.

Лука Пачоли усматривал в Золотом сечении Божественное триединство: малый отрезок олицетворял Сына, большой – Отца, а целое – Святой Дух.

Число Фи

В основе Золотого сечения лежит Число Фи.
Точное значение Числа Фи (1000 знаков после запятой):

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Однако для удобства Число Фи округляют до 3-х знаков после запятой — 1, 618

Число Фи имеет интересные математические свойства:
1) Каждое третье число Фибоначчи четно;
2) Каждое четвертое кратно 3;
3) Каждое пятнадцатое оканчивается нулем

Если разделить единицу на Число Фи, то получится число 0,618… — те же самые десятичные знаки после запятой, что и у числа Фи.

1/Ф = Ф-1 1/1,618 = 0,618

Используя Число Фи можно составить 3 идеальные фигуры.

1 – идеальная звезда, в которой отрезки HF и FC, а так же другие стороны треугольников и соответствующие стороны внутреннего пятиугольника относятся как 1/1.618.

2 – идеальная спираль, которая образована ¼ окружностей вписанных в квадраты, стороны которых являются последовательностью числового ряда Фибоначчи и относятся как 1/1.618.

3 – идеальный прямоугольник, который состоит из квадрата и прямоугольника и меньшая сторона малого прямоугольника (B) относится к стороне квадрата (A) как 1/1.618, а так же сторона квадрата (A) относится к большей стороне большого прямоугольника (A+B) как 1/1.618.

Мистики называют Число Фи основой всего живого на земле.

Все растения, животные, люди наделены физическими пропорциями, приблизительно равными корню от соотношения Числа Фи к 1.

Так, например, если измерить расстояние от плеча до кончиков пальцев, затем разделите его на расстояние от локтя до тех же кончиков пальцев. Получите число 1.618

Расстояние от верхней части бедра до пола, поделенное на расстояние от колена до пола — это снова Число Фи.

Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца = Числу Фи.

Последовательность Фибоначчи

Правило Золотого сечения также связывают с именем первого крупного математика средневековой Европы — Леонардо Пизанским, более известным, как Фибоначчи.

В своем труде «Liber Abaci», датируемым 1202 годом, описывая решение одной из задач, ученый вывел числовой ряд, известный сейчас как «Последовательность Фибоначчи».

Элементы данной числовой последовательности:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584…

Особенностью числового ряда Фибоначчи является то, что первые два числа в нем равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

На отношение этой последовательности к Золотой пропорции обратил внимание немецкий математик, астроном и первооткрыватель законов движения планет Солнечной системы Иоганн Кеплер, писавшей о Золотой пропорции так:

«Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

В настоящее время Последовательность Фибоначчи является арифметической основой для расчетов пропорций Золотого сечения во всех его проявлениях.

Принципы Золотого сечения используются абсолютно во всех сферах жизни. Не являются исключением и боевые искусства. Так, например, теоретическая основа базовых принципов Системы Кадочникова построена на принципах Золотого сечения.

Принципы Золотого сечения составляют основу практически всех стилей восточных единоборств, а также современных школ боевых искусств.

Траектории движений Айкидо, захваты Циньна, базовые движения Славяно-горицкой борьбы, техники Звериных стилей Ушу и многое другое – это наглядная демонстрация принципов Золотого сечения в боевых искусствах.

Умение видеть пропорции Золотого сечения при основании техники боевых искусств, позволяет существенно упростить освоение приемов и позволяет с легкостью применять их на практике.

Золотое сечение, или божественная пропорция — самое загадочное правило дизайна и вызывает много споров. Разбираемся, как использовать его, чтобы ваши дизайны выделялись.

Что общего у пирамиды в Гизе и Мона Лизы с логотипом Пепси? И то, и другое создано с помощью золотого сечения. В этой статье мы разберем, что это такое и как его использовать в создании дизайна.

Правило золотого сечения

Золотое сечение — пропорция, которую заметили еще древние египтяне. Чтобы её получить, нужно разделить линию на две части так, чтобы длинная часть соотносилась с короткой в такой же пропорции, как вся линия соотносится с длинной. Оказывается, эта пропорция всегда равняется 1,618. Это число еще называют числом «фи».

Формула золотого сечения

На это число обратили внимание художники, скульпторы, архитекторы — его назвали божественной пропорцией и стали использовать в произведениях искусства, чтобы добиться идеальной композиции, наилучшего сочетания всех элементов произведения.

С тех пор золотое сечение находят в пропорциях гениальных произведений: пирамидах в Гизе и афинском Парфеноне, «Сотворении Адама» и сводах Сикстинской капеллы, созданных Микеланджело, «Мона Лизе» Да Винчи. Замечают золотое сечение в искусстве и дизайне наших дней. Его находят даже в логотипах современных компаний — например, Пепси и Твиттера. Именно с этим математическим явлением многие связывают привлекательность этих предметов искусства и дизайна.

Давайте разберемся, как применять золотое сечение как пропорцию в дизайне. Для начала примерим ее на разные фигуры. Вот, например, квадрат и прямоугольник. Одна сторона у них одинаковая, а другая у прямоугольника больше в соотношении 1 к 1.618:

троим прямоугольник с помощью золотого сечения

Если объединить эти фигуры, получится прямоугольник с золотым сечением. Его еще называют золотым прямоугольником:

«Золотой прямоугольник»

Особенность этого прямоугольника в том, что, сколько бы вы ни отрезали от него квадратов, стороны оставшегося прямоугольника всегда будут сохранять соотношение 1 к 1,168.

Заметили цифры в квадратах? Это математическая последовательность, которая раскрывает математическое совершенство золотого сечения, — последовательность Фибоначчи (поэтому божественную пропорцияю часто называют «золотое сечение Фибоначчи»). Она составляется по простейшему правилу: каждое следующее число — это сумма двух предыдущих:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Следующий шаг — спираль, построенная на основе золотого сечения. Чтобы создать ее, соединим углы квадратов дугой:

Спираль с пропорциями золотого сечения

Такую спираль можно встретить не только в чертежах, но и в живой природе. Цветы и стебли, раковины и даже ураганы созданы как будто с помощью божественной пропорции.

Золотое сечение: примеры в природе

Следущий шаг — впишем в квадраты круги. Они тоже соотносятся друг с другом в пропорции 1:1.618 и соответствуют правилу золотого сечения.

Золотое сечение на примере кругов

Итак, мы составили прямоугольники, спираль и круги на основе золотого сечения. Пора разобраться, как это применяют художники и чем он может быть полезен дизайнерам.

Как использовать золотое сечение в дизайне

Золотое сечение можно использовать, чтобы создать привлекательный макет, гармонично расположить элементы дизайна и согласовать их размеры между собой, сделать красивые снимки и рисунки.

1. Принцип золотого сечения в макетах

«Золотой прямоугольник» можно использовать для того, чтобы согласовать размеры элементов макета. Самый простой способ — установить между ними соотношение 1 к 1,618.

Например, если применить правило золотого сечения к макету шириной 960 пикселей и разделить ширину на 1,618, то его высота составит 594 пикселя. Разобьем получившийся прямоугольник на две части с соотношением сторон 1 к 1,168. Осталось только заполнить две части запоминающимися снимками — и макет готов.

Макет из двух колонок, построенный на основе «золотого прямоугольника»

Такое деление на колонки подойдет для веб-дизайна. Вот более сложный пример — сайт National Geographic. На что вы посмотрели в первую очередь на этой странице? Наверняка на заголовок и крупный снимок, после — на снимки поменьше и колонку слева. Золотое сечение помогает создать четкую иерархию элементов и управлять вниманием пользователя.

Золотое сечение помогает выделить главное на сайте National Geographic

Попробуйте определить, как работает золотое сечение в шаблонах «Обложка фотокниги» и «Обложка книги по урбанистике».

2. «Воздух» между элементами

«Воздух» — это свободное пространство вокруг элементов дизайна. Он структурирует макет и выделяет важные детали. Чтобы грамотно распределить интервалы между объектами, наложите на свой макет «золотой прямоугольник» (несколько, если нужно).

Располагайте элементы по краям или углам полученных областей — и макет будет выглядеть цельным и законченным.

Дизайн-студия Moodley разработала айдентику для фестиваля искусств Bregenzer Festspiele. В корпоративный стиль вошли логоиип, подпись и шаблоны для программ, афиш и наружной рекламы. При этом на афишах вокруг коллажей из картин и фотографий много свободного пространства. Золотое сечение помогает распределить его так, чтобы оно подчеркивало основные элементы дизайна, обращало на них внимание смотрящего. Используйте это при создании вашей айдентики.

А вот визитные карточки, которые разработало сингапурское дизайн-агентство Lemon Graphic для Terkaya Wealth Management. Всего три элемента — два логотипа и подпись — выстроены в красивую композицию с помощью свободного пространства. Понадобилось два «золотых прямоугольника», чтобы создать этот дизайн

Такой текст сложно и скучно читать

Оформите свои визитки с помощью шаблонов «Визитка директора музыкальной группы» и «Визитка свадебного ассистента».

3. Содержание — в сердце «золотой спирали»

Золотую спираль можно использовать для того, чтобы распределить объекты на плоскости. В центр можно поставить самые важные детали, а остальные — привязать к линии спирали.

Это сайт графического дизайнера Тима Роузиля отличается плотной версткой и интересным расположением элементов, основанным на золотом сечении. Обратите внимание, как автор привязал крупные элементы сайта (Текст Bonjour My Name is Tim) к более широкой части спирали, а мелкие (осаисание своей работы и логотип) организовал в ее центре. Именно в таком порядке глаз читающего и познакомиться с материалом на странице. Так золотое сечение помогает управлять порядком чтения.

Сайт графического дизайнера Тима Роузиля

На экспериментальном плакате Saastamoisen säätiö элементы становятся меньше и плотнее по мере того, как золотая спираль заворачивается к своему центру. С каждым шагом уменьшается и размер букв, и расстояние между ними.

Айдентика Saastamoisen säätiö

Дизайнеры из Helms Workshop использовали золотую спираль в логотипе пивоварни Fullsteam Brewery. Они «разложили» по квадратам элементы дизайна: сначала глаз цепляется за потрет, после взгляд останавлвается на штампе в правом углу и переходит к мелкой подписи ABV и месту производства. Так на одной картинке разместился целый рассказ о бренде: его владелец (к слову, вымышленный), традиции, истоки.

Айдентика Fullsteam Brewery от Helms Workshop

Попробуйте организовать свой дизайн с помощью золотой спирали с нашими шаблонами «Бюро путешествий «Дороги» и «Медцентр университета».

4. Золотое сечение в фотографии и архитектуре

Скульпторы и архитекторы использовали в своих работах золотое сечение, потому что увидели в нем божественную гармонию. Эта пропорция действительно помогает сделать снимки более выразительными и эстетически привлекательными. С ее помощью можно расставить акценты на картине или подчеркнуть важные детали на снимке.

Чтобы применить золотое сечение в фотографии, разделим снимок на девять частей: проведем три линии по горизонтали и три по вертикали. При этом соотношения между столбцами и между строками составляют 1 к 0,618 к 1. Посмотрите: на картинке крайние столбцы и строки шире центральных.

На линиях, которые мы начертили, и их пересечениях и будут останавливать свой взгляд зрители.

Золотое сечение: пример использования в фотографии

Другой (слегка упрощенный) способ организовать снимок с помощью золотого сечения — это так называемое «правило третей». Снимок точно так же делят вертикальными и горизонтальными линиями, но на равные прямоугольники — в соотношении 1 к 1 к 1. Важные элементы помещают вокруг центрального прямоугольника, в его четырех углах.

Вот, например, обложка Complex magazine, в проектировании которой использовали принцип золотого сечения. Центральный квадрат наполнен деталями, в его углах — глаза и нос модели, а по краям композиции размещены квадраты с «воздухом».

Обложка Complex Magazine

А эту обложку Pilot magazine создали по упрощенному правилу третей. Снова глаза — самая выразительная часть лица — на пересечении двух линий.

Обложка Pilot Magazine, Jason Mildren

Обычно, делая снимок, начинающие фотографы стремятся поместить модель в центр. Но если выровнять лицо по одной из линий золотого сечения, композиция становится динамичнее и интереснее. Пример — эффектная обложка Feld magazine.

В этой обложке хочется обратить внимание не только на снимок, но и на шапку журнала. Начертите золотую спираль — и вы сразу заметите, что именно на ней построена иерархия элементов обложки.

Золотая спираль в обложке Feld Magazine

Используйте правило третей в фотографии и правило золотого сечения в дизайне. Начните с наших шаблонов «Цитата дня» и «Коту нужно внимание».

5. Формы: как круги помогают создавать логотипы

В нашем запасе остался еще один способ использования золотого сечения — построенные на основе этой пропорции окружности. Они помогут создать аккуратный логотип.

Живая обложка группы Cropp Russia

Создавая сложную фигуру, можно использовать круги, чтобы проверять детали на соразмерность и пропорциональность. Вот, к примеру, логотипы Пепси и Твитера.

Логотип Пепси построен на двух окружностях, созданных по принципу золотого сечения. При этом внутренний круг почти не заметен: его можно выделить, если внимательно посмотреть на белый «блик» на логотипе. Заметили?

Логотип Пепси и золотое сечение

С логотипом Твитера немного сложнее. Те же два круга помогли дизайнерам сделать аккуратные крылья, пропорциональные телу птички.

Логотип Твитера и золотое сечение

Принцип золотого сечения — это не неприступный закон искусства. Это математика, которая помогает сделать любые визуальные произведения более выразительными и притягательными. Попробуйте применить ее к своей композиции — и оцените четкую структуру, гармоничность и эстетичность, которые она привнесет в ваш дизайн.

Подписывайтесь на обновления в Телеграме, Фейсбуке, ВКонтакте и Яндекс Дзене, чтобы всегда быть в курсе трендов графического дизайна и возможностей Canva, которые помогут воплотить их в жизнь!

«Золотое сечение» в экономике – что это?

Несколько слов о «золотом сечении» в традиционном смысле

Считается, что если отрезок разделить на части таким образом, что меньшая его часть будет относиться к большей, как бОльшая – к целому отрезку, то такое разделение дает пропорцию 1/1,618, которую древние греки, позаимствовав ее у еще более древних египтян, назвали «золотым сечением». И что многие архитектурные сооружения – соотношения контуров строений, соотношение между их ключевыми элементами — начиная с египетских пирамид и кончая теоретическими построениями Ле Корбюзье — основывались на этой пропорции.
Ей же соответствуют числа Фибоначчи, спираль которого дает развернутую геометрическую иллюстрацию этой пропорции.
Более того, размеры человеческого тела (от подошв до пупка, от пупка до головы, от головы до пальцев поднятой руки), начиная от идеальных пропорций, увиденных в Средневековье (витрувианский человек и проч.), и кончая антропометрическими измерения населения СССР, довольно-таки близки к этой пропорции.
А если добавить, что подобные фигуры обнаружены в совершенно разнородных биологических объектах: раковинах моллюсков, расположении семян в подсолнухе и в кедровых шишках, то понятно почему иррациональное число, начинающееся как 1,618 объявлялось «божественным» — его следы прослеживаются даже в форме галактик, тяготеющих к спирали Фибоначчи!
С учетом всех перечисленных примеров, можно предполагать:

  1. мы имеем дело с поистине «большими данными»,
  2. даже в первом приближении они указывают на некую, если не всеобщность, то необыкновенно широкое распространение «золотого сечения» и близких к нему значений.

В экономике

Широко известны и интенсивно используется диаграммы Лоренца для визуализации доходов населения. Эти мощный макроэкономический инструмент с разнообразными вариациями и уточнениями (децильный коэффициент, индекс Джини) используются в статистике для социально-экономического сопоставления стран и их особенностей и могут быть обоснованием для принятия больших политических и бюджетных решений в области налогообложения, здравоохранения, выработки планов развития стран и регионов.
И хотя в нормальном бытовом сознании доходы и расходы связаны между собой накрепко, в Гугле это не так… Поразительно, но найти связь диаграмм Лоренца с распределением расходов мне удалось только у двух российских авторов (буду признателен, если кто-то знает подобные работы как в русском, так и англоязычном секторе интернета).
Первая — диссертация Т. М. Буевой. Диссертация была посвящена, в частности, оптимизации расходов на марийских птицефабриках.
Другой автор, В.В. Матохин (взаимные ссылки авторов имеются), подходит к делу более масштабно. Матохин, физик по исходному образованию, занимается статистической обработкой данных, используемых при принятии управленческих решений, а также оценкой адаптивности и управляемости компаний.
Концепция и примеры, приводимые ниже, почерпнуты из работ В. Матохина и его коллег (Матохин, 1995), (Antoniou и др., 2002), (Крянев, и др., 1998), (Матохин и др. 2018). В связи с этим следует добавить, что возможные ошибки в интерпретации их работ являются исключительной собственностью автора этих строк и не могут быть приписаны исходным академическим текстам.

Неожиданное постоянство

Отраженное на ниже представленных графиках.
1. Распределение грантов по конкурсу научно-технических работ по Государственной программе “Высокотемпературная сверхпроводимость”. (Матохин, 1995)

Рис.1. Пропорции в ежегодном распределении средств по проектам в 1988-1994 гг..
Основные характеристики ежегодных распределений приведены в Табл.3, где SN — ежегодная сумма распределяемых средств (в млн. руб.), а N — число финансируемых проектов. С учетом того, что за эти годы менялся персональный состав жюри конкурса, бюджет конкурса и даже масштаб денег (до реформы 1991-го года и после), стабильность реальных кривых во времени поразительна. Черная полоса на графике составлена из экспериментальных точек.

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994
S 273 362 432 553 345 353 253 X
Sn 143.1 137.6 136.9 411.2 109.4 920 977 Y

Табл.3
2. Кривая расходов, связанных с продажами товарных запасов (Котляр, 1989)

Рис.2
3. Тарифная сетка жалований чинам
В качестве примера для построения диаграммы взяты данные из документа «Ведомость: сколько каким чинам по штатам обыкновенного годового жалования в год иметь положено» (Суворов, 2014)(«Наука побеждать»).

Чин Жалование (руб.)
Полковник 585
Подполковник 351
Майор Пример 292
Майор Секунд 243
Квартермистр 117
Адъютант 117
Комиссар 98

Рис. 3. Диаграмма соразмерности годовых жалований по чинам

4. Осредненный рабочий график американского менеджера среднего звена (Mintzberg, 1973)
Рис.4
Приведенные нормированные графики позволяют предполагать, что в иллюстрируемых ими хозяйственных активностях имеется общая закономерность. При радикальном различии по конкретике хозяйственной деятельности, по ее месту и времени, весьма вероятно, что сходство графиков продиктовано неким фундаментальным условием функционирования экономических систем. Не иначе, как за тысячелетия ведения хозяйственной деятельности на основании огромного числа проб и ошибок субъекты этой деятельности нащупали некоторую оптимальную стратегию распределения ресурсов. И интуитивно используют ее в текущей деятельности. Такое предположение хорошо согласуется с известным принципом Парето: 20% наших усилий дают 80% результатов. Здесь явно наблюдается нечто подобное. Приведенные графики выражают эмпирическую закономерность, которая в случае преобразования в диаграмму Лоренца с достаточной точностью описывается при показателе степени «альфа» равном 2. При этом показателе диаграмма Лоренца превращается в часть окружности.
Можно назвать эту, еще не имеющую устойчивого наименования характеристику, выживаемостью. По аналогии с выживаемостью в дикой природе, выживаемость хозяйственной системы определяется ее наработанным приспособлением к условиям социально-экономической среды и способностью адаптироваться к изменениям рыночных условий.
Это значит, что система, в которой распределение расходов близко к идеальному (при показателе степени «альфа», равном 2, или распределением расходов «по окружности»), имеет наибольшие шансы сохраниться в существующем виде. Примечательно, что в ряде случаев такое распределение определяет и наибольшую рентабельность предприятия. Например, здесь. Чем меньше коэффициент отклонения от идеального, тем выше рентабельность предприятия (Буева, 2002).
Таблица (фрагмент)

Практические выводы

Планируя расходы, как компании, так и домохозяйства, полезно построить по ним кривую Лоренца и сверить ее с идеальной. Чем ближе ваша диаграмма будет к идеальной, тем вероятнее, что планируете правильно и что ваша деятельность будет успешна. Такая близость подтверждает, что ваши планы близки к опыту хозяйственной деятельности человечества, отложившемся в таких общепризнанным эмпирических закономерностях, как принцип Парето.
Однако можно предположить, что здесь речь идет о функционировании зрелой хозяйственной системы, ориентированной на рентабельность. Если же речь не идет о максимизации прибыли, а, например, о задаче модернизации компании или о принципиальном увеличении ее доли рынка, ваша кривая распределения расходов будет отходить от окружности.
Понятно, что и в случае старт-апа с его специфической экономикой диаграмма Лоренца, отвечающая наибольшей вероятности успеха, будет также отклоняться от окружности. Можно высказать гипотезу, что отклонения кривой распределения расходов внутрь окружности соответствует как повышенным рискам, так и пониженной адаптивности компании. Однако без опоры на большие статистические массивы по старт-апам (как успешным, так и неуспешным) обоснованные квалифицированные прогнозы вряд ли возможны.
По другой гипотезе, отклонение кривой распределения расходов от окружности наружу, может быть сигналом как чрезмерной зарегулированности управления, так и сигналом надвигающегося банкротства. Для проверки этой гипотезы так же необходима определенная эталонная база, которая, как и в случае старт-апов, вряд ли существует в открытом доступе.

Вместо заключения

Первые большие публикации по этой тематике датируются 1995 годом (Матохин, 1995). И малоизвестность этих работ при их универсальности и радикально новом использовании широко применяемых экономистами моделей и инструментов остается в некотором смысле загадкой…

Золотое сечение

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Первая тысяча знаков значения Φ. У этого термина существуют и другие значения, см. Золотое сечение (значения).

Число, равное отношению a / b {\displaystyle a/b} , обычно обозначается прописной греческой буквой Φ {\displaystyle \Phi } , в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия, реже — греческой буквой τ {\displaystyle \tau } . Из исходного равенства (например, представляя a или даже a/b независимой переменной и решая выводимое из исходного равенства квадратное уравнение) нетрудно получить, что число

Φ = 5 + 1 2 {\displaystyle \Phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}

Обратное число, обозначаемое строчной буквой φ {\displaystyle \varphi } ,

φ = 1 Φ = 5 − 1 2 ≈ 0.61803 {\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\Phi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\approx 0.61803}

Отсюда следует, что

φ = Φ − 1 {\displaystyle \varphi =\Phi -1} .

Число Φ {\displaystyle \Phi } называется также золотым числом.

Для практических целей ограничиваются приблизительным значением Φ {\displaystyle \Phi } = 1,618 или Φ {\displaystyle \Phi } = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %.

Иллюстрация к определению

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства.

Энциклопедичный YouTube

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

(Рис.1) Cхема пропорциональных отрезков золотого сечения

‎Золотое сечение (золотая пропорция, гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении) — соотношение числовых величин в математике и искусстве: отношение суммы двух величин к большей из них равно отношению большей величины к меньшей (рис. 1).

Золотое сечение (отношение) — иррациональное число, приблизительно равное 1.6180339887.

Где:

  • (a + b) — весь отрезок (крайний член)
  • a — большая её часть(средний)
  • b — меньшая её часть(крайний)

Золотое сечение в отличие от пропорции содержит произведение определённых значений средних членов (вместо c·d имеем a·a или a·c = a·a). Не любое деление отрезка даёт среднее сечение. Например, деление отрезка на части, выраженных рациональными числами или на равные части, не даёт золотого сечения.

Математические и эстетические свойства Править

(Рис.2) Построение золотого прямоугольника

Обычно названия золотого сечения (отношения), часто встречается как золотое сечение (латинский: sectio aurea) и золотая середина .,, Другие описания, с которыми часто сталкиваются, применяют выражения как необычное или как среднее сечение , как божественная пропорция, что на (латинском: sectio divina); также как золотая пропорция, золотое сокращение, золотое число, а также как среднее из Phidias.,,Золотое сечение часто обозначается греческой буквой — $ \!\phi $.

Фигура (см. Рис.2) иллюстрирует геометрические отношения, которые определяют эту константу:

$ \frac 1 \varphi = \varphi — 1;\; \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{.}6180339887 $

По крайней мере со времён Ренессанса, много художников и архитекторов строили свои работы так, чтобы приблизить золотое сечение (отношение) к правилам золотого прямоугольника, в котором отношение более длинной стороны к корткой было золотым отношением, равной золотой пропорции, удовлетворящее эстетические восприятия.

Алгебраически нахождение золотого сечения (см. Рис.2) отрезка длины $ \,\phi $ сводится к решению уравнения:

$ \frac{a}{x}= \frac{x}{a-x} = \phi \, $, где $ \!\phi $ = 1.6180339887 (для сравнения (см. Рис.1) $ \! \frac {a}{x}=\frac {a}{b} $),

откуда:

$ x=a \ (\sqrt{5}-1)/2 \approx 0.618 \ a, $ $ a-x=a \ (3-\sqrt{5})/2 \approx 0.382 \ a. $

Отношение $ \frac{x}{a}\, $ может быть также выражено приближенно дробями

$ 2/3, \ \ 3/5, \ \ 5/8, \ \ 8/13, \ \ 13/21, \ldots \ , $

где$ 2,3,5,8,13,21,\ldots $ — числа Фибоначчи.

Иррациональное алгебраическое число Править

Отношение частей в этой пропорции выражается квадратичной иррациональностью

$ \varphi = \frac{ \sqrt{5}+1}{2} \approx 1{,}6180339887\dots $

  • $ \varphi $ (Греческая буква «фи», первая буква имени Фидиас (Phidias), введённая для обозначения золотого сечения) — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения

$ \varphi^2 = \varphi + 1. $

  • $ \varphi $ представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:

$ \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + …}}}}. $

  • $ \varphi\; $ представляется в виде бесконечной цепной дроби

$ \varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\,\cdots}}}, $ подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи $ \frac{F_{n+1}}{F_n} $. Таким образом, $ \varphi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} $.

Золотое сечение в пятиконечной звезде

Построение золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

  • В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении (на приведённом рисунке отношение красного отрезка к зелёному, так же как зелёного к синему, так же как синего к фиолетовому, равны $ \varphi $).
  • Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка $ AB $ можно построить следующим образом: в точке $ B $ восстанавливают перпендикуляр к $ AB $, откладывают на нём отрезок $ BC $, равный половине $ AB $, на отрезке $ AC $ откладывают отрезок $ AD $, равный $ AC-CB $, и наконец, на отрезке $ AB $ откладывают отрезок $ AE $, равный $ AD $. Тогда

$ \varphi=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{|AE|}{|EB|}. $

История Править

Парфенон иллюстрирует золотое сечение своими пропорциями

Выражение «деление в крайнеи и среднеи отношении», которое использовалось ещё в 3-м тысячелетии до н. э., сохранялось до 18-го века.

В дошедшей до нас античной литературе золотое сечение впервые встречается во II книге «Начал» Евклида, где дается геометрическое построение золотого сечения, равносильное решению квадратного уравнения.

$ \!x(a+x)=a^2 $

Евклид применяет золотое сечение при построении правильных 5- и 10-угольников (IV и XIV книги), а также в стереометрии при построении правильных 12- и 20-гранников. Несомненно, что золотое сечение было известно и до Евклида. Весьма вероятно, что задача золотого сечения была решена еще пифагорейцами, которым приписываются построение правильного 5-угольника и геометрические построения, равносильные решению квадратных уравнений. После Евклида исследованием золотого сечения занимался Гипсикл (2 в. до н. э.), Папп Александрийский (3 в. н. э.) и др.

В средневековой Европе с золотым сечением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик и комментатор Евклида Дж.Кампано из Новары (13 в.) добавил к XII книге «Начал» предложение, содержащее арифметическое доказательство несоизмеримости отрезка и обеих частей его золотого сечения.

В 15—16 в.в. усилился интерес к золотому сечению среди ученых и художников в связи с его применениями как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи и Фра Лука Пачоли посвятили золотому сечению трактат «О божественной пропорции» (1509). Одна из страниц рукописей Леонардо того времени посвящёна золотым пропорциям человека (рисунок Леонардо на этой странице широко известен как «Vitruvian Man»).

Michael Maestlin в 1597 г. первым опубликовал десятичное приближение золотого сечения.

О золотом сечении много писал в одном из своих ранних произведений И.Кеплер (1596). Термин «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи (конец 15 века). Золотое сечение или близкие ему пропорциональные отношения легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства (главным образом в архитектуре античности и Возрождения). Например, античный Парфенон и средневековая Капелла Пацци во Флоренции, архитектор Ф.Брунеллески (15 в.).

Золотое сечение и гармония в искусстве Править

Длительное время существовало общепринятое суждение, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Например, пропорции золотого сечения находят в пирамиде Хеопса, в соотношении размеров некоторых храмов, барельефов; предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона. По мнению первых исследователей, это свидетельствует, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. Древнеегипетский зодчий Хесира, вырезанный на деревянной доске, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

К тем же выводам пришёл Розенов в статье «Закон золотого сечения в поэзии и музыке» (1925) на примере произведений Баха, Моцарта, Бетховена.

Критика. Править

К подобным утверждениям следует относиться с должной критичностью, поскольку во многих случаях это может оказаться результатом подгонки или совпадения (эффект «числовой мистики»). Есть обоснованные данные, что значимость золотого сечения в искусстве, архитектуре и в природе преувеличена, и основывается на ошибочных расчётах.

При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2 : 3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми».

Примеры сознательного использования Править

Золотое сечение и зрительные центры

Золотое сечение в видоискателях фотокиноаппаратры

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий Жолтовский также использовал золотое сечение в своих проектах.

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения. Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что, так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Другим примером использования правила «золотого сечения» в киноискусстве служит расположение основных компонентов кадра в особых точках — «зрительных центрах». Часто используются четыре точки, расположенные на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краёв плоскости.

ХронологияПравить

Греческая буква «фи», первая буква имени Фидиас (Phidias), введённая для обозначения золотого сечения Марком Баром в начале 20 в.; заглавная буква обычно используется для обратного отношения: Ф=1/φ

  • Фидиас (Phidias) (490–430 BC) создал статуи Парфенона, которые своими пропорциями воплощают золотое сечение.
  • Платон (427–347 BC) в своем труде Timaeus описывает пять возможных правильных геометрических тел (Платоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр), часть из которых имеет отношение к золотому сечению.
  • Евклид (325–265 BC) в своих Элементах дал первое письменное определение золотого сечения, которое в переводе было названо «деление в крайнем и среднем отношении (extreme and mean ratio)» (греч. ακροςκαιμεσοςλογος).
  • Фибоначчи (Fibonacci) (1170–1250) открыл числовой ряд, теперь называемый его именем, который тесно связан с золотым сечением.
  • Фра Лука Пачоли (Fra Luca Pacioli) (1445–1517) совместно с Леонардо определил золотое сечение как «божественную пропорцию» в их труде «Божественная пропорция (Divina Proportione)».
  • Леонардо да Винчи (1451–1519) совместно с Пачоли определил золотое сечение как «божественную пропорцию» в их труде «Божественная пропорция (Divina Proportione)» и, по-видиому, ввел термин золотое сечение (лат. gold aurea); см. Vitruvian Man.
  • Иоганн Кеплер (Johannes Kepler) (1571–1630) называет золотое сечение «драгоценным камнем»: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами: теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении; первое можно сравнить с мерой золота, второе назвать драгоценным камнем».
  • Чарльз Боне (Charles Bonnet) (1720–1793) указывает, что в спиралях растений, закрученных по и против часовой стрелки, часто обнаруживается ряд Фибоначчи.
  • Мартин Ом (Martin Ohm) (1792–1872) был первым, кто систематически использовал слова золотое сечение для описания этого отношения.
  • Эдвард Лукас (Edouard Lucas) (1842–1891) вводит числовую последовательность, теперь известную как последовательность Фибоначчи в её нынешнем виде.
  • Марк Барр (Mark Barr) (20 в.) вводит «Ф» — первую греческую букву имени Фидиас для обозначения золотого сечения.
  • Роджер Пенроуз (Roger Penrose) (р.1931) открывает симметрию, использующую золотое сечение в области «апериодических черепиц», которая привела к новым открытиям в квазикристаллах.

См.такжеПравить

  • Золотые пропорции человека
  • Гармония (в эвентологии)
  • Золотое сечение (в музыке)
  • Золотое сечение (в примерах)
  • Пропорция (математика)

Ссылки Править

Числа с собственными именами

Вещественные

Золотое сечение • e (число Эйлера) • Пи • Число Скьюза

Натуральные

Чёртова дюжина • Число зверя • Число Рамануджана — Харди

Степени десяти

Мириада • Гугол • Асанкхейя • Гуголплекс

Степени тысячи

Тысяча • Миллион • Миллиард • Биллион • Триллион … • … Центиллион • Зиллион

Степени двенадцати

Дюжина • Гросс • Масса

Двенадцатеричная система счисления

Литературные • меры счёта • Доцанд • Мириад

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *